Математическое моделирование — основа происходящей в настоящее время математизации научных знаний и, кроме того, важный этап познания: математические модели соответствуют понятию отражения в диалектической теории познания.
Поэтому одной из основных задач школьного математического образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями, практическое их обучение построению математических моделей, объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено все несущественное, позволяет глубже понять суть вещей.
Целью своей работы на уроках математики считаю, формирование основ математического моделирования, т. е. формирование  мыслительной способности  извлекать из модели те знания о реальности, которые связывают ее с прототипом.

Поставленная мною педагогическая цель достигается путем решения следующих задач:
создать условия для ознакомления учащихся с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями, (объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено все несущественное, позволяет глубже понять суть вещей);
разработать и применить систему заданий, формирующих практическое обучение построению математических моделей и работе с ними;
развивать воображение, образное мышление, алгоритмическое мышление обучающихся, способность к обобщению, выделению существенного;
воспитывать культуру использования математического языка  для выражения мыслей, аккуратность при работе с моделями.

Моделирование включает несколько компонентов:
постановка задачи;
составление алгоритма, модели;
анализ и интерпретация результатов.

Цель учебной работы с моделью – извлечение из модели тех знаний о реальности, которые связывают ее с прототипом. Основным методом обучения здесь является поисково-исследовательский метод, особенно если такое исследование невозможно или трудно выполнить в реальности
При построении модели необходима проверка ее на связь с реальным объектом, т. е. исследование построенной модели на соответствие свойствам объекта.

К полному представлению о модели учащийся приходит через ряд этапов, и оно формируется не в начале, а в процессе его деятельности, когда к концу изучения темы у учащегося уже имеется:
детский опыт игрового моделирования, когда палка подходящей длины заменила боевого коня и явная удаленность модели от реальности восполнялась воображением;
опыт моделирования с помощью строительных кубиков, что существенно ближе к реальности (появляются элементы и отношения между ними);
опыт компьютерных игр или просмотра телепередач. Где моделирование выполняется достаточно точно и подробно;
собственный опыт работы с исполнителями типа Черепашка (Лого) как модели, отвечающими какой-то реальности;
практика работы с готовыми компьютерными моделями, где собственно исследование модели подчеркивало как сходство с ее реальностью, так и отличия;
практика и размышления о собственной деятельности по разработке моделей, пусть и простейших.

Моделирование в основной школе логично в использовании, т.к. учитываются такие возрастные особенности, как:
высокие темпы интеллектуального развития подростка характеризуются становлением избирательности, целенаправленности восприятия, становлением устойчивого, произвольного внимания и логической памяти, в это время активно формируется абстрактное, теоретическое мышление, опирающееся на понятия, не связанные с конкретными представлениями, развиваются гипотетико-дедуктивные процессы, проявляется возможность строить сложные умозаключения, выдвигать гипотезы и проверять их;
организация учебной деятельности в средних классах – учебные программы, система подачи учебного материала и контроля его усвоения в рассматриваемый период - обеспечивают направленность на формирование теоретического дискуссионного (рассуждающего) мышления, основанного на оперировании не конкретными образами и представлениями, а понятиями, на умение сопоставлять эти понятия, переходить в ходе рассуждения от одного суждения к другому; 
в интеллектуальной деятельности школьника в период отрочества усиливаются индивидуальные различия, связанные с развитием самостоятельного мышления, интеллектуальной активности, творческого подхода к решению задач, что позволяет рассматривать возраст 11-14 лет как сенситивный период для развития творческого мышления; 
решающее влияние на описанные выше изменения подросткового возраста оказывают особенности учебной деятельности школьника, причем не только то, как она организована взрослым, но и то, насколько она сформирована у самого подростка. 
стремление к общению со сверстниками выступает как базовая потребность данного возрастного периода; 
появление в поведении признаков, свидетельствующих о стремлении утвердить свою самостоятельность, независимость, личностную автономию.

При изложении материала по учебнику А.Г. Мордковича можно выделить следующие психолого-педагогические компоненты изучения курса алгебры.

 

Проблема (по большому счету): 
это то, что мы сегодня решить не можем и завтра не решим; это то, что мучает нас продолжительное время, 
это то, к решению чего мы постепенно приближаемся, ощущая это приближение; 
это то, наконец, что, будучи разрешено, дает эмоциональный заряд, приносит радость.

Диалектический подход к введению математических понятий. Лишь простейшие понятия даются сразу в готовом виде, остальные же вводятся постепенно, с уточнениями и корректировкой, а некоторые вообще остаются на интуитивном уровне восприятия до тех пор, пока не наступит благоприятный момент для их точного определения. К числу таких понятий относится, например, понятие функции, которое, по глубокому убеждению автора, не должно вводиться строго с самого начала, оно должно «созреть». Во всяком случае, в этом учебнике строгого определения функции нет, оно будет введено лишь в курсе алгебры 9-го класса.

Развивающее обучение. Работая над учебником, автор понимал, что его главная задача заключается не в сухом сообщении математических фактов, а в развитии учащихся посредством продвижения в предмете, иными словами, приоритетным является не информационное, а развивающее поле курса. В учебнике практически реализованы принципы развивающего обучения, сформулированные Л. В. Занковым: 
обучение на высоком уровне трудности; 
прохождение тем программы достаточно быстрым темпом; 
ведущая роль теоретических знаний; осознание процесса обучения (ученик должен видеть, как он умнеет в процессе изучения материала — это достигается проблемным обучением); 
развитие всех учащихся (естественно, учитывая, что у каждого из них свой потолок).

По словам видного американского ученого Р. Куранта, математика изучает модели, т.е. мысленные конструкции реального мира. К примеру, геометрия предлагает модели, описывающие или отражающие различные стороны окружающего нас пространства. Все эти модели в определенном смысле адектватны отражаемому ими объекту: этот смысл определяется существенными качествами объекта, положенными в основу построения модели.

Математика предлагает набор моделей, каждая из которых отражает те или стороны действительности, т.е. обладающих замечательной общностью и применимостью.
Реальные процессы математика описывает на особом математическом языке в виде математических моделей. Главное назначение математического языка — способствовать организации деятельности (тогда как основное назначение обыденного языка — служить средством общения), что в наше время очень значимо для культурного человека.

Поэтому математический язык и математическая модель — ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень. При наличии идейного стержня математика предстает перед учащимся не как набор разрозненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина общекультурного характера.

В связи с этим наиболее продуктивной мне видится следующая последовательность работы по формированию математических моделей на уроках: 
создание установки на необходимость использования математического моделирования; 
формирование математической модели; 
исследование математической модели с помощью системы заданий, применения различного инструментария, графических методов.

Основными внешними и внутренними приемами мотивации в данном контексте являются следующие: 
Создание эффекта предсказуемости деятельности на уроке, что делает совместную деятельность учителя и ученика на уроке достаточно комфортной. 
Использование информационных технологий  делает процесс обучения интересным и наглядным, развивает творческую деятельность учащихся, их абстрактное и аналитическое мышление.

В ходе работы по исследованию и изучению математических моделей по учебного комплексу А.Г. Мордковича, наблюдается логичная организация познавательной деятельности обучающихся, состоящая из этапов:

проблемное изложение материала; 
введение основных понятий математики; 
изучение основных взаимосвязей между введенными понятиями; 
восприятие целостности системы курса математики.

На первом этапе считаю необходимым разбудить у учеников интерес к последовательно изучаемым в курсе математики моделям следующими способами: 
через создание проблемных ситуаций на уроке; 
через решение «проблемных задач», которые мы не можем решить, т.к. нет достаточных знаний, умений и навыков в рамках ранее изученных математических моделей; 
использование исторического материла по математике, создание тем самым своеобразных «точек удивления» у обучающихся; 
выполнение творческих работ по материалам изучаемой модели (составление условия практической задачи по представленному арифметическому выражению, чтение графиков).

Для введения новых математических понятий необходимо соблюдение нескольких условий, а именно, опираясь на концепцию учебного пособия, понятия делятся на простые и сложные. Простые даются на уровне формулировок, правил (например, степень с натуральным показателем).

Сложные математические понятия (например, функция, свойства функций, равносильность уравнений и т.п.) вводятся при выполнении двух условий: 
у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия — опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт), и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт); 
у школьников появилась потребность в формальном определении понятия.

В отличие от сложившихся традиций определение функции не вводится в 7 классе, хотя работаем с функциями и в 7, и в 8 классах очень много. И только в 9 классе, проанализировав накопленный учащимися опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, убеждаем их в том, что у них появилась потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функций.

Достигается следующее положение в восприятии материала: меньше схоластики, меньше формализма, меньше жестких моделей, меньше опоры на левое полушарие мозга; больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие мозга.

К изучаемым в курсе математики моделям на определенных этапах можно применять различный понятийный и оперативный аппарат, главное, чтобы он был на данный момент хорошо сфомирован. Здесь особое внимание уделяется формированию и развитию у ребят основ алгоритмического мышления, используются такие задания, как: 
обобщение  материала на основе решаемых примеров (выражений), сформулировать алгоритм решения класса задач; 
обратное – отработка основных алгоритмических конструкций математики в ходе исследования модели, особое внимание, здесь уделяется завершенности алгоритма ( в случае, если он является вспомогательным для решения поставленной задачи); 
установление общих и различных черт в поведении класса моделей (например, обобщение материала по различным функциональным зависимостям, сведение их в виде справочного материала).

Некоторые исследователи подразделяют весь описанный инструментарий на две взаимосвязанные части – математику теоретическую и математику прикладную. Как правило, подобное разделение производится на основе того, используется или нет тот или иной раздел науки для решения задач, возникающих вне математики. Таким образом, если данный раздел науки применяется для решения задач, возникающих вне математики, то его относят к прикладной математике; если же он работает внутри математической теории, его относят к «чистой» математике. Легко заметить, что отнесение математической модели к прикладной или теоретической математике в зависимости от того, имеет она или нет реальный  прообраз, является лишь описанием правила.

Математика предлагает набор моделей, каждая из которых отражает те или иные стороны действительности.
Построение и исследование моделей я организую в ходе таких уроков как: 
Урок ознакомления с новым материалом 
Комбинированный урок 
Урок закрепления изученного 
Урок проверки и коррекции знаний 
Самостоятельная работа 
Практическая работа 
Компьютерный эксперимент 
Урок-зачет 
Урок обобщения материала

Во все времена человек разумный, познающий отражал в своем мышлении объекты реальности в виде идеальных, мысленных моделей и действовал исходя из ожидаемого поведения их прототипов. Это этап первого отражения, отражения мира в мышлении человека. С появлением компьютера ситуация радикально меняется. Человек может теперь передать компьютеру свои знания, создав компьютерную модель реального объекта. Происходит второе отражение миром природы, теперь уже из мышления человека в память компьютера. В этом смысле компьютерный мир является третьей реальностью: 1) материя; 2) сознание; 3) снова неживая материя (компьютер), но уже высокоорганизованная. 

Персональный компьютер в процессе организации моделирования выступает как помощник учителя. ПК можно использовать самым практически на всех этапах урока.

Актуализация знаний обучающихся (как инструмент демонстрирующий происходящие в жизни процессы, организация проблемной ситуации). 
Объяснение новой темы, совмещая традиционные методы изложения учебного материала с использованием демонстраций на ПК с помощью проецирующего устройства (демонстрирующий модель инструмент, компьютерный эксперимент). 
Закрепление материала – выполнение учащимися разноуровневых заданий, а также упражнений, направленных на формирование межпредметных связей (проверка выполненных заданий, тренажер для отработки формируемых знаний, умений и навыков.

Проверка знаний (тест, устный опрос с проверкой ответа). 

В ходе организации познавательной деятельности  использую традиционные методы обучения репродуктивный, объяснительно-иллюстративный, поисково-исследовательский, исследовательский, а также и специфические: экспериментальный, лабораторная работа.
Персональный компьютер – это мощный инструмент для создания дидактических и демонстрационных материалов к урокам. Здесь не может быть каких-либо ограничений для проявления творчества.

В основном я создаю и использую такие дидактические материалы как: 
модели геометрических фигур (компьютерные и с созданные обучающимися – показать модель наклонного параллелепипеда и рассказать как с ней ведется работа); 
разработка моделей геометрических тел; 
карточки самостоятельных, проверочных работ различного уровня сложности; 
компьютерные презентации; 
компьютерная диагностика изучаемого материала; 
компьютерные образовательные комплексы.

     В работе я использую следующие достаточно известные электронные пособия:
1. Математика 5-11. Новые возможности для усвоения курса математики. М., Дрофа
2. Открытая математика. Функции и графики (версия 2,5). Физикон.
3. Математика 5-11 классы. Практикум. Институт новых технологий
4. Математика 5-9 классы (электронное пособие к учебнику Дорофеева ). М., Дрофа
5. Открытая математика. Планиметрия (версия 2,5). Физикон.
6. Открытая математика. Стереометрия (версия 2,5). Физикон.
7. Вероятность и статистика 5-9 классы. Практикум. М., Дрофа.